نمونه سوال حساب

حساب ديفرانسيل وانتگرال - سري اول

تذكر مهم:
در كليه سوالات علامت راديكال بصورت ( √ ) وعلامت تقسيم بصورت( مخرج/صورت ) وعلامت مميز بصورت( , ) وعلامت ضرب بصورت (*) مي باشد

1- معادله خط قائم بر نمودار تابع x⁵ + y⁵ - 2x²y = 0 را در نقطه (1و1) بنويسيد.

2 – تابع f با ضابطه زير مفروض است معادله خط مماس بر نمودار f ^-1 را در b=3 بنويسيد. b € D_f -1

f(x)=x ³ +( 2 / x ² ) x>0

3 – نقطه p روي مسير y = (2 x - 3 x ³ )^1/3 در حركت است. هنگامي كه M در (1- و1) قرار دارد، اگر y با سرعت 2 متر در ثانيه كاهش يابد x با چه سرعتي تغيير مي كند.

4 – نقاط اكسترمم نسبي تابع|f(x) = x|x-1 را بدست آوريد.

5 – با استفاده از قضيه رول نشان دهيد كه معادله x⁵ +4x -1 = 0 دقيقاً يك ريشه دارد .

6 – براي تابع f، اگر ' f روي با زه I مثبت باشد ثابت كنيد f روي I صعودي اكيد است.  

7 – جدول تغييرات و نمودار فقط يكي از دو تابع زير را رسم كنيد.

الف.
f(x) = 2x / (1-x ² )
ب.
y = sin x / ( 2sinx - 1) [0 , 2π]
 

8 – اولاً به كمك ديفرانسيل مقدار تقريبي 26√³ را بيابيد
ثانياً : حدهاي زير را به كمك قاعده هوپيتال حساب كنيد.

lim (1-x²) tan π x / 2

x---->1

lim  (1 / x ) - [1 / (cosx-1)]

x---->0

9 – مقادير تقريب نقصاني و اضافي مساحت زير منحني y = x² -2x را بين 3 و 5 براي n=4 بدست آوريد.  

10 – بدون محاسبه انتگرال ، مشتق زير را بدست آوريد.

		sin2x
dt	t / (1 + t^2 )	∫	d / dx
		0

 

11 – ثابت كنيد اگر f دربازده [a,b] انتگرال پذير و k يك عدد حقيقي ثابت باشد آنگاه

b	b
k  ∫     f(x) dx	∫      k f(x) dx       =
a	a

 

12 – انتگرال هاي زير را محاسبه كنيد.

∫ [ x³ +3 √ x   - (1 / x³)] dx

∫ x sin(1-x²) dx

   2

∫ [x] | x-1| dx

-1

 

  سري دوم سوالات

1 – ثابت كنيد كه اگر A زير مجموعه R كراندار باشد آنگاه عدد حقيقي k وجود دارد بطوري كه به ازاي هر x € A داشته باشيم :
x| <= k|

2 – مجموعه{A={x € R , |2x-3|<7 يك همسايگي متقارن a به شعاع r مي باشد، a,r را بيابيد.

3 – قضيه : اگر دنباله{a_n} همگرا باشد،آنگاه حد آن يكتاست.  

4 – همگرائي سريهاي زير را بررسي كرده و مقدار سريهاي همگرا را بدست آوريد.

 ∞

Σ ( 5k-3) / (2k-11)

k=1

 ∞

Σ 1 / [(2k+3)(2k+5)]

k=1

 ∞

Σ ( 3^k + 5^k ) / 7 ^k-1

k=1

 

5 – با استفاده از تعريف ، حد زير را ثابت كنيد:

lim (x ² - 6x) = -9

x---->3

6 – با استفاده از مفهوم دنباله ثابت كنيد تابع(f(x)=sin(1/x در نقطه x=0 حد ندارد.  

7 – مجانبهاي قائم و مايل تابع زير را در صورت امكان بدست آوريد.

y = x³ / (x² - 1)  

8 – پيوستگي تابع زير را در نقطه x=1 بررسي كنيد.

x <= 1	2x-3	{
			f (x) =
x > 1	x^2

 

9 – نشان دهيد كه حداقل يكي از ريشه هاي معادله x³-3x+1 = 0 درباره {1و0} قرار دارد.

10 – معادله خط مماس بر منحني تابع y = x⁵-5 را در نقطه x=1 واقع بر منحني بدست آوريد.

11 – هر گاه f' , g مقادير زير باشد، مشتق تابع(y=fog(x را در x=1 بدست آوريد.

g (x) =  x³ - 1

f ' (x) = √ (3x + 16)